Top 3 cách chứng minh tiếp tuyến của đường tròn

Trong toán học, khi nói về tiếp tuyến, người ta sẽ nghĩ đến đường thẳng tiếp xúc với đường tròn qua 1 điểm xác định. Vậy có những cách chứng minh tiếp tuyến của đường tròn nào, hãy cùng ihoc tìm hiểu trong bài viết này nhé.

Tiếp tuyến là gì?

Theo định nghĩa thì tiếp tuyến là đường thẳng chỉ tiếp xúc với đường tròn tại duy nhất một điểm A. Đồng thời nó cũng sẽ vuông góc với bán kính của đường tròn tại chính điểm A đó.

Tính chất tiếp tuyến của một đường tròn

Ta đã biết được định nghĩa tiếp tuyến là gì, bây giờ, hãy cùng tìm hiểu các tính chất và dấu hiệu nhận biết của nó. Đây chính là phần quan trọng, từ đó rút ra các cách chứng minh tiếp tuyến với đường tròn.

• Nếu một đường thẳng a được xác định là tiếp tuyến của đường tròn tâm O thì nó sẽ vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm A đó.
• Đường thẳng mà vuông góc với tiếp tuyến tại một điểm tiếp xúc với đường tròn thì đường thẳng đó sẽ đi qua tâm.
• Từ một điểm nằm bên ngoài đường tròn, chúng ta luôn vẽ được 2 tiếp tuyến với đường tròn đó.
• Hai tiếp tuyến của đường tròn sẽ cắt nhau tại 1 điểm A bất kỳ và điểm đó sẽ chính là khoảng cách cách đều 2 tiếp điểm.

Tia được kẻ từ điểm cắt nhau (điểm A) đi qua tâm đường tròn O sẽ được gọi là tia phân giác góc tạo bởi 2 đường tiếp tuyến.

Tia kẻ từ tâm O đi qua điểm cắt nhau A thì sẽ được gọi là tia phân giác của 2 bán kính và đi qua các tiếp điểm.

• Nếu 2 tiếp tuyến tại điểm A và B với đường tròn tâm O cắt nhau tại M thì góc BOA và góc BMA sẽ bù nhau.

Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của một đường tròn là gì?

• Nếu một đường thẳng a đi qua một điểm A nằm nào đó nằm trên đường tròn O và vuông góc với bán kính R đi qua điểm A đó thì đường thẳng đó sẽ là tiếp tuyến của đường tròn tâm O.
• Nếu một đường thẳng a và một đường tròn tâm O chỉ có duy nhất một điểm chung thì đường thẳng đó sẽ là tiếp tuyến của đường tròn tâm O.
• Nếu khoảng cách từ tâm O của một đường tròn đến đường thẳng a bất kỳ bằng bán kính R của đường tròn O thì đường thẳng a đó sẽ là tiếp tuyến của đường tròn tâm O.

Top 3 cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn

• Cách 1: Chứng minh đường thẳng a vuông góc với bán kính R của đường tròn.
• Cách 2: Chứng minh khoảng cách từ tâm O của đường tròn đến đường thẳng a bằng bán kính R của đường tròn.
• Cách 3: Ta chứng minh hệ thức MA2 = MB.MC thì MA được gọi là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE.

Bài tập ứng dụng các cách chứng minh tiếp tuyến

Bài 1: Cho ΔABC nội tiếp đường tròn tâm (O), (AB < AC), trên tia đối của tia BC lấy điểm M sao cho MA2 = MB.MC. Hãy áp dụng 1 trong 3 cách chứng minh tiếp tuyến để chứng minh rằng: MA là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Giải:

Vì MA² = MB.MC ⇒ MA/MB = MC/MA

Xét ΔMAB và ΔMBA có:

Góc M là góc chung và MA/MB = MC/MA, suy ra ΔMAC ~ ΔMBA (c.g.c) hay Góc MAB = Góc MCA (1)

Kẻ đường kính AD của (O), ta có: Góc ACB = Góc ADB (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB) mà Góc MAB = Góc MCA (chứng minh trên), suy ra, Góc MAB =Góc ADB (3)

Lại có:Góc ADB = 90 độ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Góc BAD + Góc BDA = 90 độ (4)

Từ (3) và (4) suy ra: Góc BAD + Góc MAB = 90o hayGóc MAO = 90 độ, suy ra OA⊥MA

Do A ∈ (O) ⇒ MA là tiếp tuyến của (O).

Bài 2: Cho đường tròn (O, AB/2), C là một điểm thay đổi trên đường tròn (O). Tiếp tuyến tại C của (O) cắt AB tại D. Đường thẳng qua O và vuông góc với phân giác của Góc ODM, cắt CD tại M. Qua M kẻ đường thẳng d // AB. Sử dụng các cách chứng minh tiếp tuyến để chứng minh d là tiếp tuyến của (O).

Giải:

Kẻ OH ⊥ d ⇔ Góc OHM = 90 độ

Ta có CD là tiếp tuyến của (O) nên OC⊥CD tại C Góc OCM = 90 độ

Gọi E là giao điểm của tia phân giác Góc ODM với OM

Xét ΔMDO có DE là phân giác Góc ODM, DE là đường cao, suy ra ΔMDO cân tại D

Vậy nên Góc DMO = Góc DOM (hai góc ở đáy của tam giác cân)

Lại có: d//AB Góc HMO = Góc DOM (hai góc so le trong) Góc HMO = Góc DMO

• Có thể bạn quan tâm: Hai góc đồng vị là gì?

Xét ΔOHM và ΔOCM có Góc OHM = Góc OCM = 90 độ, OM là cạnh chung, Suy ra, Góc HMO = Góc DMO (cmt)
⇒ OHM = OCM (trường hợp cạnh huyền – góc nhọn), suy ra, OH = OC = R (hai cạnh tương ứng) ⇒ H ∈ (O;R). Vì vậy d là tiếp tuyến của (O;R).

Bài 3: Cho ΔABC nhọn, đường cao BD và CE cắt nhau tại H, gọi I là trung điểm của
BC. Chứng minh rằng ID, IE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ΔADE.

Giải: Gọi O là trung điểm của AH.

ΔADH vuông tại D có DO là trung tuyến nên ta có: DO = ½ AH = OA = OH

ΔAEH vuông tại E và có EO là trung tuyến nên EO = ½ AH = OA = OH

Suy ra: OA = OD = OE, nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔADE.

Ta có: Góc ODA = Góc OAD (1) (ΔOAD cân tại O)

ΔBDC vuông tại D có DI là trung tuyến nên DI = ½ BC = IC

Suy ra ΔICD cân tại I, do đó Góc IDC = Góc ICD (2)

H là giao điểm hai đường cao BD và CE nên là trực tâm của ΔABC, suy ra AH ⊥ BC tại F.

Khi đó: Góc OAD + Góc ICD = 90 độ (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: Góc ODI = 90 độ OD ⊥ DI

Lại có: OD ⊥ DI, D thuộc (O) nên ID tiếp xúc với (O) tại D.

CMTT ta được IE tiếp xúc với (O) tại E.

Bài tập vận dụng các cách chứng minh tiếp tuyến với đường tròn

Bài 1. Cho nửa đường tròn (O,AB/2). Ax, By là hai tiếp tuyến của (O) (Ax, By cùng phía với AB). Trên trục Ax lấy điểm C, trên trục By lấy điểm D sao cho AC.BD=¼ AB2

Khi đó:
a, CD tiếp xúc với (O)
b, CD cắt (O)
c, CD không có điểm chung với (O)
d, CD = R2

Trả lời: Đáp án đúng là a

Vì: Trên tia đối của tia BD lấy điểm E sao cho BE = AC.

Ta có: AC.BD = ¼ AB² = ¼ . 2R2 = R²

Mà AC = BE ⇒ BE.BD = R2= OB2, suy ra △DOE vuông tại O

và OD vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của △CDE nên OD cũng là đường phân giác.

Từ đó suy ra △OHD = △OBD (tam giác vuông có cạnh huyền và một góc nhọn bằng nhau)
⇒ OH = OB. Vậy nên CD tiếp xúc với (O).

Bài 2. Cho △ABC cân tại A, đường cao AH và BK cắt nhau ở I. Khi đó:
a, AK là tiếp tuyến của đường tròn với đường kính là AI
b, BK là tiếp tuyến của đường tròn với đường kính là AI
c, BH là tiếp tuyến của đường tròn với đường kính là AI
d, HK là tiếp tuyến của đường tròn với đường kính là AI

Chọn câu trả lời đúng nhất.

Trả lời: Đáp án đúng là d. Để giải bài tập này, ta sẽ phải vận dụng 1 trong các cách chứng minh tiếp tuyến ở trên.
Vì gọi O là trung điểm của AI nên KO là đường trung tuyến của tam giác vuông AKO.
⇒ AO = IO = OK.
Ta cần chứng minh OK ⊥ HK, dựa vào tính chất △AOK cân, suy ra rằng HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI.

Bài 3. Cho đường tròn (O, AB/2), lấy điểm M sao cho A nằm giữa B và M. Kẻ đường thẳng MC tiếp xúc với (O) tại C. Từ O hạ đường thẳng ⊥CB và cắt tia MC tại N. Khẳng định nào sau đây không đúng?
a. BN là tiếp tuyến của (O)
b. BC là tiếp tuyến của (O, OH)
c. OC là tiếp tuyến của (O, ON)
d. AC là tiếp tuyến của (C, BC)

Trả lời: Đáp án đúng là: b

Vì góc OCN = 90 độ nên ba điểm O, C, N cùng thuộc đường tròn (O,ON/2). Vì vậy OC là một dây cung, không thể là tiếp tuyến của đường tròn (O,ON/2).

Bài 4. Cho △ABC vuông tại A, đường cao AH. Đường tròn (I, AH/2) cắt AB tại E, đường tròn tâm (J, HC/2) cắt AC tại F. Khi đó:
a. EF là tiếp tuyến của (H, HI)
b. JF là tiếp tuyến của (I, EF/2)
c. EF là tiếp tuyến chung của (I) và (J).
d. IF là tiếp tuyến của (C, CF)

Trả lời: Đáp án đúng là b.

Vì tứ giác AEHK có: A = 90 độ, E = F = 90 độ
Nên AEHK là hình chữ nhật, suy ra:
⇒ EF cắt AH tại trung điểm I của AH
⇒ EF là đường kính của (I)
△FIH cân tại I (IF = IH) ⇒ Góc IFH = Góc IHF
△FJH cân tại J (JF = JH) ⇒ Gó JHF = Góc JFH
Mà Góc IFH + Góc JHF = 90 độ, nên Góc IFH + Góc JFH = 90 độ ⇒ Góc IFJ = 90 độ.
Vậy IF là tiếp tuyến của đồng tròn (I;EF/2)

Trên đây là định nghĩa tiếp tuyến là gì, các cách chứng minh tiếp tuyến của đường tròn và các bài tập vận dụng. Cách duy nhất để chúng ta ghi nhớ thật lâu cách làm dạng toán này chính là ghi chép lại nội dung quan trọng và luyện tập thật nhiều. Xem thêm những dạng toán liên quan khác tại website của SGK Online.