Số điểm cực trị của hàm số là gì? Định lý tìm cực trị hàm số

Số điểm cực trị của hàm số là kiến thức đại số trong thể thiếu trong chương trình sách giáo khoa Toán lớp 10. Để hỗ trợ các học sinh hiểu và ứng dụng kiến thức này một cách thuận lợi hơn, Ihoc đã tổng hợp toàn bộ các khái niệm và phương pháp tìm cực đại và cực tiểu cho các loại hàm số phổ biến. Mời các bạn tham khảo!

Cực trị của một hàm số là gì?

Cực trị của một hàm số là điểm hoặc giá trị của biến độc lập mà khiến hàm số thay đổi hướng biến thiên. Theo quan điểm hình học, cực trị của hàm số thường được hiểu như những điểm nằm ở đỉnh của đồ thị, đại diện cho khoảng cách lớn nhất từ điểm này sang điểm khác và ngược lại.

Lưu ý: Quan trọng để nhận thức rằng giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số KHÔNG PHẢI là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, mà là những giá trị làm thay đổi hướng của đồ thị hàm số.

Số điểm cực trị của hàm số là gì? 

Số điểm cực trị của hàm số phụ thuộc vào dạng của hàm số đó. Các kết luận:

• Mỗi dạng hàm số mang theo một số điểm cực trị khác nhau. Có thể không có điểm cực trị nào, có thể xuất hiện một điểm cực trị ở phương trình bậc 2, có thể có hai điểm cực trị ở phương trình bậc 3, và cứ tiếp tục như vậy.
• Đối với hàm số bậc 2, có thể xuất hiện một điểm cực trị nếu hệ số của x2 là khác không.
• Đối với hàm số bậc 3, có thể có hai điểm cực trị nếu có sự thay đổi đáng kể trong độ dốc của đồ thị.

Số điểm cực trị của hàm số phản ánh tính chất biến thiên và hình dạng của đồ thị hàm số trong mỗi trường hợp cụ thể.

Những điều cần lưu ý về số điểm cực trị của hàm số

• Điểm x0 khiến hàm số đạt cực đại (hoặc cực tiểu) được gọi là điểm cực trị. Giá trị cực đại (hoặc cực tiểu) f(x0) thường được gọi chung là cực trị. Lưu ý rằng tại một điểm có thể tồn tại nhiều điểm cực đại và cực tiểu.
• Giá trị cực đại (hoặc cực tiểu) f(x0) không là giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của hàm số f, mà chỉ là giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của hàm số f trên một khoảng (a;b) chứa x0.
• Nếu x0 là một điểm cực trị của f, thì điểm (x0; f(x0)) là điểm cực trị của đồ thị hàm số f.

Các nguyên lý liên quan đến số điểm cực trị của hàm số

Định nghĩa về giá trị cực đại và cực tiểu

Đối với hàm số f định nghĩa trên tập K (với K ⊂ ℝ) và x0 ∈ K, các khái niệm về giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được xác định như sau:

• x0 được xem là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại khoảng (a;b) ⊂ K sao cho f(x) < f(x0), với mọi x ∈ (a;b) \{x0}. Trong trường hợp này, f(x0) được coi là giá trị cực đại của hàm số f.
• x0 được xem là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại khoảng (a;b) ⊂ K sao cho sao cho f(x) > f(x0), với mọi x ∈ (a;b) \{x0}. Trong trường hợp này, f(x0) được coi là giá trị cực tiểu của hàm số f.

Những khái niệm này mô tả những điểm quan trọng trên đồ thị của hàm số, nơi mà hàm số đạt đến giá trị lớn nhất (đối với điểm cực đại) hoặc giá trị nhỏ nhất (đối với điểm cực tiểu). Điều này giúp phản ánh đặc điểm biến thiên của hàm số và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của toán học và khoa học tự nhiên.

Một số nhận xét chung:

• Điểm x0 khiến hàm số đạt giá trị cực đại (cực tiểu) thường được gọi là điểm cực trị. Giá trị cực đại (cực tiểu) của hàm số, f(x0) được gọi là cực trị. Hàm số có thể có nhiều điểm cực đại hoặc cực tiểu trên tập K.
• Nói chung, f(x0) không nhất thiết là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên toàn bộ tập K; thay vào đó, nó chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên (a;b) chứa x0.
• Nếu x0 là một điểm cực trị của hàm số f, thì điểm (x0; f(x0)) được xem là điểm cực trị trên đồ thị hàm số f. 

Các định lý liên quan đến số điểm cực trị của hàm số

Định lý 1: 

Nếu f là một hàm số đạt cực trị tại x0 và f có đạo hàm tại điểm x0, thì giá trị của đạo hàm f’(x0) là bằng không, tức là f’(x0) = 0.

Một số lưu ý tổng quát:

• Ngược lại, trường hợp này có thể sai. Tức là, việc đạo hàm f’ bằng 0 tại điểm x0 không nhất thiết dẫn đến việc f đạt cực trị tại x0. Có trường hợp f’ bằng 0 mà f không có cực trị tại x0.
• Hàm số có thể đạt cực trị tại điểm mà ở đó hàm số không tồn tại đạo hàm. Điều này có nghĩa là, mặc dù f không có đạo hàm tại điểm x0, nhưng f vẫn có thể đạt cực trị tại điểm đó.

Định lý 2: 

Nếu đạo hàm f’(x0) của hàm số f thay đổi dấu từ âm sang dương khi  x đi qua điểm x0 (theo chiều tăng), thì hàm số f đạt giá trị cực tiểu tại x0.   

Nếu đạo hàm f’(x0) của hàm số thay đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua điểm x0 (theo chiều tăng), thì hàm số f đạt giá trị cực đại tại x0.

Định lý 3: 

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên 1 khoảng (a;b) chứa điểm x0, f’(x0) = 0 và f có đạo hàm cấp hai khác không tại điểm x0. 

• Nếu f’(x0) < 0, thì hàm số f đạt giá trị cực đại tại điểm x0.
• Nếu f’(x0) > 0, thì hàm số f đạt giá trị cực tiểu tại điểm x0.
• Nếu f’(x0) = 0, thì không thể kết luận trực tiếp, và cần thực hiện bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu đạo hàm để đưa ra kết luận về tính chất của điểm x0.

Cách tính số điểm cực trị của hàm số

Tìm số điểm cực trị của hàm số bậc 2

Hàm số bậc 2 được biểu diễn dưới dạng: y = ax2 + bx + c (với a ≠ 0) trên miền xác định D = R. Đạo hàm của hàm số là y’ = 2ax + b.

Khi xét điểm x0 = -b/2a,  ta nhận thấy rằng đạo hàm y’ đổi dấu khi x qua x0. Điều này đồng nghĩa với việc x0 là một điểm cực trị của hàm số.

Do đó, hàm số bậc 2 đạt cực trị tại x0 = -b/2a, nơi mà đạo hàm y’ thay đổi dấu.

Tìm số điểm cực trị của hàm số bậc 3

Để xác định điểm cực trị của hàm số bậc 3, ta có thể thực hiện theo các bước sau:

Hàm số bậc 3 có dạng: y = ax3 + bx2 + cx + d (với a ≠ 0) trên miền xác định D = R. Đạo hàm của hàm số là y’ = 3ax2 + 2bx + c và Δ’ = b2 – 3ac.

Xác định Δ’:

• Nếu Δ’ ≤ 0, thì y’ không đổi dấu, điều này đồng nghĩa với việc hàm số không có điểm cực trị.
• Nếu Δ’ > 0, thì y’ đổi dấu hai lần, có nghĩa là hàm số có hai điểm cực trị (một cực đại và một cực tiểu).

Xác định điểm cực trị:

• Nếu Δ’ > 0, điểm cực trị đầu tiên (x1) được xác định bởi x1 và điểm cực trị thứ hai (x2) là x2.

Tìm số điểm cực trị của hàm số bậc 4 (hàm trùng phương) 

Hàm số trùng phương có dạng chung là y = ax4 + bx2 + c (với a ≠ 0) trên miền xác định D = R. Để xác định cực trị của hàm số, ta thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm y’ của hàm số. Công thức đạo hàm là y’ = 4ax^3 + 2bx 

Giải phương trình y’ = 0 để xác định các giá trị x khiến đạo hàm bằng 0. Các giá trị này là ứng với các điểm cực trị của hàm số. Từ phương trình 2x(2ax2 +b) = 0, ta có x = 0 và 2ax2 + b = 0, từ đó x = ±√b/2a.

Kiểm tra dấu của y’ tại các giá trị x đã xác định được. 

• Nếu y’ đổi dấu 1 lần khi x đi qua x0 = 0, thì hàm số đạt cực trị tại x0.
• Nếu y’ đổi dấu 3 lần khi x đi qua x0 = ±√b/2a, thì hàm số có 3 điểm cực trị.

Trên đây là toàn bộ thông tin về số điểm cực trị của hàm số mà Thư viện bài giảng muốn chia sẻ với các bạn. Hi vọng rằng nội dung của bài viết này sẽ hỗ trợ bạn trong việc chuẩn bị cho các kỳ thi sắp tới. Chúc bạn có những buổi ôn tập hiệu quả và đạt được kết quả tốt.