Hằng đẳng thức là gì? 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Các công thức hằng đẳng thực bao gồm: 7 hằng đẳng thức đáng nhớ, các đẳng thức mở rộng, Roy,… Hãy cùng chúng tôi tìm hiểu chi tiết về các đẳng thức này ngay trong bài viết dưới đây nhé!

Hằng đẳng thức là gì?

Trong toán học, hằng đẳng thức có nghĩa là một loạt các đẳng thức có liên quan tới nhau hợp lại thành một hằng đẳng thức. Các hằng đẳng thức được sử dụng nhiều trong các môn toán của học sinh cấp THCS và THPT.

Ghi nhớ các hằng đẳng thức giúp chúng ta tính toán nhanh gọn hơn và vận dụng các phép tính một cách thuận tiện, hiệu quả hơn.

Công thức 7 hằng đẳng thức đáng nhớ lớp 8 và ví dụ minh họa

Bình phương của 1 tổng

Công thức: (A + B)² = A² + 2AB + B²

Ví dụ 1: Viết biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng: x² + 2x + 1 = x² + 2.x.1 + 1² = (x + 1)²

Bình phương của 1 hiệu

Công thức: (A – B)² = A² – 2AB + B²

Ví dụ 2: Viết biểu thức sau dưới dạng bình phương của một hiệu:

25a² + 4b² – 20ab = (5a)² – 2.5a.2b + (2b)² = (5a – 2b)²

Hiệu hai bình phương

Công thức: A² – B² = (A – B)(A + B)

Ví dụ 3: Viết dưới dạng tích biểu thức: A = 9x² – 4 = (3x)² – 2² = (3x – 2)(3x+2)

Lập phương của 1 tổng

Công thức: (A + B)³ = A³ + 3A²B +3AB² + B³

Ví dụ 4: Tính (3x + 2y)³ = (3x)³ + 3.(3x)².2y + 3.3x.(2y)² + (2y)³ = 27x³ + 54x²y + 36xy² + 8y³

Lập phương của 1 hiệu

Công thức: (A – B)³ = A³ – 3A²B +3AB² – B³

Ví dụ 5: Tính (x – 5)³ = x³ – 3x².5 + 3x.5² – 5³ = x³ – 15x² + 75x – 125

Tổng hai lập phương

Công thức: A³ + B³ = (A + B)(A² –AB + B²)

Ví dụ 6: Viết biểu thức sau đây dưới dạng tích: a³ + 216 = a³ + 6³ = (a + 6)(a² – 6a + 36)

Hiệu hai lập phương

Công thức: A³ – B³ = (A – B)(A² +AB + B²)

Ví dụ 7: Tính biểu thức: 8x³ – 27 = (2x)³ – 3³ = (2x – 3)[(2x)² + 2x.3 + 3²] = (2x – 3)(4x² + 6x + 9)

Trên đây là tổng hợp công thức 7 hằng đẳng thức đáng nhớ trong toán học. Hãy ghi nhớ và vận dụng chúng để giải các phương trình bậc 2, bậc 3, giải các bài tập phân tích đa thức thành nhân tử hay biến đổi các thức,…

• Bạn đang xem bài viết của Dạy học trực tuyến

Các công thức hằng đẳng thức khác

Hằng đẳng thức Roy

Hằng đẳng thức Roy được đặt theo tên của René Roy – một nhà kinh tế học người Pháp. Đây là công thức giúp tính được hàm cầu Marshall bằng cách lấy đạo hàm của hàm thỏa dụng gián tiếp theo giá cả chia cho đạo hàm của hàm thỏa dụng gián tiếp theo thu nhập để có thể sử dụng được.

Đẳng thức về tính chất bắc cầu

Đẳng thức là mối quan hệ giữa hai đại lượng, hay nói một cách tổng quát hơn là hai biểu thức. Khẳng định rằng hai đại lượng hay hai giá trị nào đó bằng nhau, tức là có cùng một giá trị, hay cả hai đều biểu diễn cùng một đối tượng toán học.

Ta có: a = b, b = c ⇒ a = c

Từ đẳng thức trên, chúng ta có thể suy ra có hằng đẳng thức sau khi cùng cộng, trừ, nhân, chia hai vế với một số hay biểu thức nào đó:

• a = b ⇒ a + c = b + c
• a = b ⇒ a – c = b – c
• a = b ⇒ ac = bc
• a = b ⇒ a/c = b/c

Hằng đẳng thức về căn bậc hai

Hằng đẳng thức này được sử dụng để rút gọn hay tính toán các căn bậc hai của một giá trị nào đó:

8 dạng bài tập áp dụng hằng đẳng thức

Dạng số 1: Tính giá trị của biểu thức

Ví dụ số 1: Tính giá trị của biểu thức: A = x² – 6x + 9 tại x= – 1

Ta có: A = x² – 6x + 9 = x² – 2.3.x + 3² = (x – 3)²
Tại x = –1, ta có: A= (–1 – 3)² = (–4)² = 64
Vậy tại x = –1 thì A = 64.

Dạng số 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Ví dụ số 2: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = x² – 2x + 5

Ta có: B = x² – 2x + 5 = x² – 2x + 1+ 4 = (x – 1)² + 4
Vì (x – 1)² ≥ 0 với mọi x ⇒ (x – 1)² + 4 ≥ 4 (áp dụng đẳng thức về tính chất bắc cầu – cộng hai vế với +4) hay B ≥ 4
Vậy BMin = 4, dấu “=” xảy ra khi x – 1 = 0 hay x = 1.

Dạng số 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Ví dụ số 3: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: C = 4x – x²

Ta có: C = 4x – x2 = 4 – 4 + 4x – x² = 4 – (2² + 2.2.x – x²) = 4 – (2 – x)²
Vì (2 – x)² ≥ 0 với mọi x ⇒ – (2 – x)² ≤ 0 với mọi x ⇒ 4 – (2 – x)² ≤ 4 (áp dụng đẳng thức về tính chất bắc cầu – cộng hai vế với +4)
Vậy CMax = 4, dấu bằng xảy ra khi 2 – x = 0 hay x = 2.

Dạng số 4: Chứng minh đẳng thức bằng nhau

Ví dụ số 4: Chứng minh đẳng thức sau đúng: (a + b)³ – (a – b)³ = 2b(3a² + b²)

Đối với các dạng toán chứng minh hai biểu thức bằng nhau, hãy biến đổi Vế trái (VT) bằng Vế phải (VP) hay VT = D và VP=D (theo tính chất bắc cầu trong hằng đẳng thức).

Ta có:
VT = (a + b)³ – (a – b)³ = (a³ + 3a²b + 3ab² + b³) – (a³ – 3a²b + 3ab² – b³)
= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ – a³ + 3a²b – 3ab² + b³
= 6a²b + 2b³ = 2b(3a² + b²) = VP (dpcm)

Dạng số 5: Tìm giá trị của x

Ví dụ số 5: Tìm giá trị của x biết: x²(x – 3) – 4x + 12 = 0

Ta có: x²(x – 3) – 4(x – 3) = 0
⇔ (x² – 4) (x – 3) = 0
⇔ (x – 2)(x + 2)(x – 3) = 0
⇔ x – 2 = 0 hoặc x + 2 = 0 hoặc x – 3 = 0
⇔ Phương trình có 3 nghiệm: x = 2 hoặc x = –2 hoặc x = 3

Dạng số 6: Chứng minh bất đẳng thức
Biến đổi bất đẳng thức về dạng E ≥ 0 hoặc E ≤ 0, với P là một biểu thức. Sau đó dùng các phép biến đổi E về 1 trong bảy hằng đẳng thức.

Ví dụ số 6: Chứng minh E nhận giá trị dương với mọi giá trị của biến, biết E = x² – x + 1

Ta có: E = x² – x + 1 = x² – 2.½.x + ( ¼)² + ¾= (x – ½)² + ¾
Vì (x – ½)² ≥ 0, với mọi x nên (x – ½)² + ¾ ≥ 0 với mọi x.

Dạng số 7: Phân tích đa thức thành nhân tử

Ví dụ số 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: F = x² – 4x + 4 – y²

Ta có: F = x² – 4x + 4 – y² = (x² – 2.2x + 2²) – y² = (x – 2)² – y² (Biểu thức F có dạng A2 – B2)
Vậy F = (x – 2 – y)(x – 2 + y).

Dạng số 8: Chứng minh biểu thức G không phụ thuộc vào biến

Ví dụ số 8: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x: G = (x – 1)² + (x + 1)(3 – x)

Ta có: G = (x – 1)² + (x + 1)(3 – x) = x² – 2x + 1 + 3x – x² + 3 – x = 4
⇒ G = 4 là hằng số nên không phụ thuộc vào biến x.

Bài tập tự luyện về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Bài tập 1:Tìm x biết:

(x – 3)(x² + 3x + 9) + x(x + 2)(2 – x) = 0.
(x + 1)³ – (x – 1)³ – 6(x – 1)² = –10.

Bài tập 2: Rút gọn biểu thức: A = (x + 2y).(x – 2y) – (x – 2y)²

Bài tập 3: Chứng tỏ rằng:

x² – 6x + 10 > 0 với mọi x
4x – x² – 5 < 0 với mọi x

Bài tập 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức:

A = x² – 2x + 5
B = 2x² – 6x
C = x² + y² – x + 6x + 10

Hy vọng bài viết về công thức 7 hằng đẳng thức đáng nhớ trên đây sẽ cung cấp cho các bạn những kiến thức hữu ích. Hãy ghi chú lại vào cẩm nang kiến thức toán học của mình và vận dụng chúng thật tốt để đạt kết quả cao trong các kỳ thi sắp tới.