Bảng nguyên hàm cơ bản, mở rộng, nâng cao, lượng giác

Nguyên hàm là quá trình ngược lại với đạo hàm, giữa nguyên hàm và đạo hàm có mối quan hệ chặt chẽ với nhau. Hãy cùng ihoc.vn khám phá các bảng nguyên hàm cơ bản, mở rộng, bảng nguyên hàm hàm hợp, lượng giác để xem sự liên hệ này là gì nhé.

Nguyên hàm là gì?

Trong bộ môn toán học giải tích, nguyên hàm của một hàm số thực cho trước f là một hàm F có đạo hàm bằng f, tức là, F′ = f. Quá trình tìm nguyên hàm của một hàm số được gọi là tích phân bất định. Tìm một biểu thức cho nguyên hàm sẽ khó hơn so với việc chúng ta đi tìm đạo hàm, và không phải lúc nào cũng tìm được.

Định nghĩa nguyên hàm

Cho hàm số f(x) xác định trên K, lúc này chúng ta gọi hàm số F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) (với mọi x ∊ K, K có thể là một khoảng, đoạn hoặc nửa đoạn trên ℝ).

Kí hiệu nguyên hàm của hàm số f(x) là: ∫f(x)dx=F(x)+C (∀ C ∈ R)

Định lý nguyên hàm

Gồm 3 định lý:

• Định lý số 1: Giả sử hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Khi đó, với mỗi hằng số C xác định, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x).
• Định lý số 2: Trên K, nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều phải có dạng F(x) + C, với C là một hằng số tùy ý.
• Định lý số 3: Trên K, tất cả hàm số f(x) liên tục đều có nguyên hàm.

Tính chất nguyên hàm

Nguyên hàm có các tính chất cơ bản như sau:

• Nếu f(x) là hàm số có nguyên hàm thì (∫f(x)dx)’ = f(x) và ∫f’(x)dx = f(x) + C
• Nếu F(x) có đạo hàm thì ∫d(F(x)) = F(x) + C
• Tích của nguyên hàm với k là hằng số, k 0, thì ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx
• Tổng, hiệu của nguyên hàm ∫[f(x) g(x)] = ∫f(x)dx.∫g(x)dx

Bảng nguyên hàm cơ bản, mở rộng, nâng cao và lượng giác

Dưới đây là tổng hợp bảng công thức nguyên hàm cơ bản, mở rộng, nâng cao, lượng giác và các dạng bài tập, ví dụ minh họa. Mời các cùng bạn theo dõi!

Bảng nguyên hàm cơ bản

Bảng nguyên hàm nâng cao

Công thức nguyên hàm mở rộng

Bảng nguyên hàm lượng giác

Các phương pháp giải bài tập nguyên hàm

Công thức nguyên hàm từng phần

Phương pháp giải: Để áp dụng công thức nguyên hàm từng phần vào giải bài tập, các bạn cần nắm định lý:

∫u(x).v’(x)dx = u(x).v(x) – ∫u(x).u’(x)dx hay ∫udv = uv – ∫vdu với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx

Các trường hợp xét nguyên hàm từng phần, với P(x) là một đa thức có ẩn x

Phương pháp tính nguyên hàm với hàm số lượng giác

Dạng 1:

Phương pháp tính: dùng đồng nhất thức

Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm

Dạng 2: I = ∫tan(x+a)tan(x+b)dx
Phương pháp tính:

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của K, biết:

Dạng 3:

Phương pháp tính:

Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm:

Dạng 4:

Phương pháp tính:

Ví dụ 4: Tìm nguyên hàm

Phương pháp tính nguyên hàm của hàm số mũ

Để giải các bài tập tính nguyên hàm của hàm số mũ, các bạn cần nắm bảng nguyên hàm sau đây.

Ví dụ: Tính nguyên hàm y = 5.7^x + x²
Ta có:

Cách tính nguyên hàm bằng cách đặt ẩn phụ (đổi biến số)

Định lý:

• Nếu ∫f(x)dx = F(x) + C và u = φ(x) là hàm số có đạo hàm ∫f(u)du = F(u) + C
• Nếu hàm số f(x) liên tục thì khi đặt x = φ(t) trong đó φ(t) cùng đạo hàm của nó φ’(t) là những hàm số liên tục, ta sẽ được: ∫f(x) = ∫f(φ(t)). φ’(t)dt

Từ những định lý này, chúng ta có thể chia ra làm hai dạng về phương pháp nguyên hàm đặt ẩn phụ như sau:

Dạng 1: Sử dụng phương pháp biến đổi số dạng 1 tìm nguyên hàm của I = f(x)dx
Phương pháp giải: Chọn x = φ(t), trong đó φ(t) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp. Sau đó lấy vi phân 2 vế, dx = φ’(t)dt.

Tiếp đến, hãy biểu thị f(x) theo t và dt: f(x)dx = f(φ(t)).φ’(t)dt = g(t)dt. Khi đó I = ∫g(t)dt = G(t)+C
Ví dụ: Tìm nguyên hàm của I, biết:

Dạng 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 2 tìm nguyên hàm I = ∫f(x)dx

Phương pháp giải: Chọn t = v(x), trong đó, v(x) là hàm số, sau đó, tính vi phân 2 vế dt = v(x)dx. Tiếp đó, hãy biểu thị f(x)dx theo t và dt: f(x)dx = f(v(x).v’(x)dt = g(t)dt. Khi đó I = ∫g(t)dt = G(t) + C.

Ví dụ: Tìm nguyên hàm I = ∫x³(2-3x²)⁸dx

Bài tập tự luyện

Các bảng nguyên hàm trên đây của Dạy học trực tuyến đã cung cấp các công thức nguyên hàm từng phần, cơ bản, mở rộng, lượng giác,… Ghi chép và làm thật nhiều bài tập để tích lũy thêm cho mình các kiến thức về nguyên hàm, đạo hàm,… và đạt điểm cao trong các kỳ thi sắp tới.