Công thức phép quay đầy đủ nhất

Công thức phép quay lớp 11 là một trong những công thức quan trọng trong chương trình hình học THPT. Hiểu được định nghĩa phép quay là gì, tính chất của phép quay, các công thức của phép quay sẽ giúp bạn làm tốt các câu hỏi trong bài kiểm tra sắp tới đấy nhé!

Định nghĩa về phép quay

Cho một điểm O và góc lượng giác α, phép biến hình sẽ biến O thành chính nó, biến mỗi một điểm M thành điểm M’ sao cho OM = OM’ và góc lượng giác (OM; OM’) = α sẽ được gọi là phép quay với tâm O góc α.

• Khi đó, điểm O được gọi là tâm quay, α được gọi là góc quay của phép quay đó.
• Phép quay tâm O góc α được quy ước bằng kí hiệu là Q (O;α).

Tính chất phép quay

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, ta có 5 tính chất quan trọng của phép quay:

• Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm M và M’ sao cho OM=OM’.
• Biến đường thẳng d thành đường thẳng d’ qua phép quay tâm O.
• Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài bằng nó: MA=MB.
• Biến tam giác thành tam giác bằng nó: ABC= A’B’C’.
• Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính: O và O’ có OA = O’A.

Một số nhận xét quan trọng về phép quay

• Chiều + của phép quay sẽ trùng với chiều + của đường tròn lượng giác, đó là chiều ngược với kim đồng hồ.
• Phép quay Q(0;2Kπ) với mọi số nguyên K là phép đồng nhất.
• Phép quay Q(0;(2K+1π)) với mọi số nguyên K là phép đối xứng tại O.

Công thức phép quay

• Phép quay tâm O, góc 90^o: Q(0;90^o) [ M(x;y)] = M’(x’;y’). Khi đó:
• Phép quay tâm O, góc –90^o: Q(0;-90^o) [ M(x;y)] = M’(x’;y’). Khi đó:
• Phép quay tâm O, góc 180^o: Q(0;180^o) [ M(x;y)] = M’(x’;y’). Khi đó:

Công thức tổng quát:

• Phép quay tâm O, có góc quay Q(O,α) [ M(x;y)] = M’(x’;y’).

• Phép quay tâm I(a;b), có góc quay Q(I, ∞) [ M(x;y)] = M’(x’;y’).

Trên đây là các định nghĩa, nhận xét, tính chất của công thức phép quay. Hãy ghi nhớ và áp dụng chúng thật hiệu quả để đạt điểm cao trong các kì thi sắp tới nhé.

Các dạng bài tập áp dụng công thức phép quay

Dạng 1: Xác định ảnh của điểm, đường thẳng, đoạn thẳng, tam giác,… qua phép quay:

Ví dụ: Cho điểm M(3;4), hãy tìm ảnh của M qua phép quay tâm và góc quay bằng 30^o.

Dạng 2: Tìm tọa độ của điểm, phương trình đường thẳng hoặc đường tròn qua phép quay. Hãy áp dụng công thức phép quay (biểu thức tọa độ của phép quay) để giải bài tập này.
Ví dụ: Tìm ảnh của đường tròn C có phương trình là (x–1)²+ (y+2)²=9 qua phép quay Q(I,90) với I(3,4)

Bài tập tự luyện về công thức phép quay

Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(–1;5), tọa độ điểm B là ảnh của điểm A qua phép quay tâm O(0; 0) góc quay –90^o là:

A. B (5;1)                                           B. B (–5;1);
C. B (1;5)                                           D. B(0;5)

Bài 2: Cho đường thẳng d: 5x – 3y + 15 = 0 trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép quay tâm O(0;0) góc quay –90º là:

A. d’: 3x + 5y – 15 = 0                       B. d’: –3x + 5y – 15 = 0
C. d’: 3x – 5y + 15 = 0                       D. d’: 3x – 5y – 15 = 0

Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x² + y² + 6x + 5 = 0. Ảnh của đường tròn (C) qua phép quay tâm O, góc quay 90º là:

A. x² + (y – 3) = 4                     B. x² + y² + 6x – 6 = 0

C. x² + (y + 3) = 4                    D. x² + y² + 6x – 5 = 0

Đáp án: 1A, 2A, 3C

Bài viết trên của Dạy học trực tuyến đã chia sẻ các thông tin về công thức phép quay và các bài tập tự luyện. Cùng bỏ túi các công thức trên để có thêm kiến thức cho các kỳ kiểm tra sắp tới nhé!