Hai vecto cùng phương là gì? Chứng minh hai vecto cùng phương?

Hai vecto cùng phương nếu chúng có giá vecto song song hoặc trùng nhau. Vậy làm cách nào để chứng minh hai vecto là cùng phương, cùng hướng hay ngược hướng? Hãy cùng ihoc.vn tìm hiểu trong bài viết này nhé.

Khái niệm vecto

Cho đoạn thẳng AB, nếu điểm A làm điểm đầu, điểm B lầm điểm cuối thì đoạn thẳng AB có hướng từ A đến B. Khi đó, có thể gọi AB là đoạn thẳng có hướng.

Như vậy, ta có định nghĩa: vecto là một đoạn thẳng có hướng.

Kí hiệu vecto

Để vẽ vecto AB ta vẽ đoạn thẳng AB và đánh dấu mũi tên ở điểm mút B.

Để vẽ vecto BA ta vẽ đoạn thẳng AB và đánh dấu mũi tên ở điểm mút A.

Vectơ còn được kí hiệu bằng các chữ cái thường khi không chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của nó. Ví dụ:

Giá của vecto

Giá của 1 vecto là đường thẳng đi qua điểm gốc và điểm ngọn của vecto đó.

Vectơ không

Lấy 1 điểm A bất kì, ta có 1 vecto đặc biệt mà điểm đầu và điểm cuối trùng nhau (đều là điểm A). vecto này gọi là vecto AA (hay còn gọi là vecto không) cùng phương, cùng hướng với mọi vecto.

Ta quy ước rằng vecto AA = vecto 0 = vecto BB = vecto CC = …. với mọi điểm A, B, C bất kì.

Hai vecto cùng phương – cùng hướng – ngược hướng

Hai vecto cùng phương là hai vecto mà giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

Hai vecto cùng hướng khi chúng cùng phương và cùng có chung 1 hướng (có thể là đều từ trái sang phải).

Ta nói vecto AB và CD cùng phương cùng hướng với nhau khi hai vecto AB và CD song song (hoặc trùng) nhau và đều hướng từ trái sang phải.

Ta nói vecto MN và vecto PQ cùng phương nhưng ngược hướng nhau khi MN và PQ song song (hoặc trùng nhau), nhưng MN có hướng từ trái sang phải, còn PQ thì ngược lại.

Như vậy, có thể kết luận rằng, hai vecto có thể cùng hướng hoặc ngược hướng. Tuy nhiên, hai vecto đã cùng hướng thì chắc chắn hai vecto đó cũng cùng phương. Đây cũng là một tính chất quan trọng để chứng minh vecto cùng phương và 3 điểm thẳng hàng.

Nhận xét: Với 3 điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng hai vecto AB và AC cùng phương.

Hai vecto bằng nhau

Độ dài của vecto được tính bằng khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vecto đó.

Độ dài của vecto = 1 thì vecto đó được gọi là vecto đơn vị

Hai vecto a và vecto b có độ bài bằng nhau khi chúng có cùng độ dài và cùng hướng.

Khi cho trước vecto a và một điểm O thì ta luôn có một điểm A duy nhất sao cho vecto OA = vecto a.

Phương pháp chứng minh hai vecto cùng phương là gì?

Để chứng minh hai vecto là cùng phương, ta đi chứng minh giá của hai vecto đó song song hoặc trùng nhau. ( Có thể sử dụng quan hệ từ vuông góc đến song song, cùng song song với 1 đường thẳng thứ ba, tính chất đường trung bình của tam giác, hình thang, định lí Talet, hai góc vị trí so le trong – hai góc đồng vị ….)

Chứng minh tồn tại số thực k ≠ 0, sao cho vecto a = k.vecto b

Để chứng minh hai vecto cùng hướng, ta chứng minh hai vecto đó cùng phương và xét hướng của chúng.

Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho 2 vecto a và b không cùng phương, vecto u = a – 2b và vecto v = 3a – 5b. Chọn mệnh đề đúng trong các câu dưới đây?

a, Hai vecto u và v là cùng phương
b, Hai vecto u và v là cùng phương và cùng hướng
c, Hai vecto u và v là cùng phương và ngược hướng
d, Hai vecto u và v không cùng phương

Giải: Giả sử tồn tại số thực k sao cho vecto u = k.v, khi đó:
a – 2b = k(3a – 5b) (3k – 1)a – (5k + 2)b = 0 (1)
Vì hai vecto a và b không cùng phương nên từ (1), có thể suy ra
3k – 1 = 0 và 5k + 2 = 0 k = ⅓ và k = -⅖
Vậy nên không có giá trị k nào thỏa mãn đầu bài, hai vecto u và v không cùng phương chọn D.

Câu 2: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’, gọi M và N lần lượt là trung điểm của AC và A’C’. Gọi G và G’ lần lần là trọng tâm của tam giác ABC và A’B’C’. Hỏi vecto nào cùng hướng với vecto MN?

A, vecto GG’
B, vecto GA’
C. vecto AG’
D, vecto AB’

Giải:
Ta có tứ giác ACC’A’ là hình bình hành có M và N lần lượt là trung điểm của AC và A’C’
Suy ra, MN là đường trung bình của hình bình hành ACC’A’ MN //AA’ // CC’
Vì G và G’ lần lượt là trọng tâm của ABC và A’B’C’ nên GG’ // BB’ / MN
Suy ra, vecto MN cùng hướng với GG’. Chọn A.

Đến đây, chắc hẳn bạn đã biết thế nào là hai vecto cùng phương và cách chứng minh hai vecto cùng một phương rồi đúng không. Xem thêm các bài viết Toán học khác của Bài giảng điện tử tại website ihoc.vn nhé.